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FORSCHUNGSBERICHT 1999-2001

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SFB 256: Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

Allgemeine Angaben:
Institut für Angewandte Mathematik Universität Bonn Wegelerstraße 6, 53115 Bonn
Telefon: (0228)/73-3411
Fax: (0228)/73-7864
eMail: anke@iam.uni-bonn.de
WWW: http://www.iam.uni-bonn.de/sfb256

Sprecher:
Prof. Dr. Hermann Karcher

Projektleiter / Beteiligte Hochschullehrer:
Prof. Dr. Sergio Albeverio
Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt
Prof. Dr. Wolfgang Alt
Prof. Dr. Werner Ballmann
Prof. Dr. Carl-Friedrich Bödigheimer
Prof. Dr. Jens Frehse
Prof. Dr. Michael Griebel
Prof. Dr. Ursula Hamenstädt
Prof. Dr. Stefan Hildebrandt
Prof. Dr. Hermann Karcher
Prof. Dr. Rolf Leis
Prof. Dr. Ingo Lieb
Prof. Dr. Werner Müller
Prof. Dr. Felix Otto
Prof. Dr. Martin Rumpf
Prof. Dr. Reiner Schätzle
Prof. Dr. Karl-Theodor Sturm

Projektbereiche und Teilprojekte:

A:  Instationäre nichtlineare partielle Differentialgleichungen
A1:  Hyperbolische Gleichungen und Systeme
(W. Alt, Leis)
A2:  Parabolische Systeme
(H.W. Alt, Rumpf)

B:  Stationäre nichtlineare partielle Differentialgleichungen, Variationsprobleme und stochastische Analysis
B1:  Elliptische Systeme
(Frehse)
B2:  Geometrische Differentialgleichungen (A) und Analysis auf Mannigfaltigkeiten (B)
(Ballmann, Bödigheimer, Hamenstädt, Hildebrandt, Karcher, Lieb, Müller)

C:  Numerik partieller Differentialgleichungen und graphische Darstellung numerischer Ergebnisse
Numerik und graphische Darstellung
(H.W. Alt, Griebel, Karcher, Rumpf)

D:  Gitterlose numerische Verfahren zur Simulation dreidimensionaler Strömungen mit freien Rändern
Gitterlose numerische Verfahren zur Simulation dreidimensionaler Strömungen mit freien Rändern
(Griebel)

E:  Stochastische Analysis
Stochastische Analysis und nicht-lineare Strukturen
(Albeverio, Sturm)

Forschungsprogramm:

Ziel des Sonderforschungsbereiches 256 ist die Entwicklung von Methoden zur Behandlung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Der Sonderforschungsbereich beschäftigt sich mit der Untersuchung grundlegender Differentialgleichungen der Kontinuumsphysik und der Differentialgeometrie, deren numerischer Behandlung sowie der graphischen Darstellung numerischer Lösungen. Hinzu kommt die Behandlung stochastischer Prozesse und Simulationsalgorithmen, welche den Kontinuumsmodellen physikaler oder biologischer Systeme zugrundeliegen.

Projektbereich A: Der Projektbereich A behandelt parabolische und hyperbolische nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Dies beinhaltet sowohl die Frage der Existenz und Regularität von Lösungen als auch deren numerische Berechnung. Das Teilprojekt A1 konzentriert sich auf nichtlineare hyperbolische Gleichungen und Systeme, im Teilprojekt A2 werden schwerpunktmäßig parabolische Systeme untersucht.

Projektbereich B: Der Projektbereich B befaßt sich mit Variationsproblemen, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen und stochastischer Analysis. Der nicht-stochastische Teil des Teilprojekts B1 befaßt sich mit Variationsproblemen und nichtlinearen elliptischen Systemen. Das Teilprojekt B2 befaßt sich mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen geometrischen Ursprungs und mit geometrischen Variationsproblemen. Es ist unterteilt in die Gruppen (A) Geometrische Differentialgleichungen und (B) Analysis auf Mannigfaltigkeiten.

Projektbereich C: In Zusammenarbeit mit den übrigen Teilprojekten beschäftigt sich der Projektbereich C mit der Implementierung numerischer und graphischer Methoden zur Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen. Ein Schwerpunkt des Projektbereiches besteht in der interaktiven Auswertung numerischer Ergebnisse sowie in der Dokumentation mit Videofilmen und Bildern.

Projektbereich D: Der Projektbereich D beschäftigt sich mit neuartigen Methoden zur Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen. Untersucht werden gitterlose numerische Methoden zur Diskretisierung von dreidimensionalen inkompressiblen Strömungen. Dabei werden keine Gitter zur Diskretisierung verwendet, sondern einzelne Punkte, die untereinander keine starren Verbindungen aufweisen. Betrachtet werden insbesondere Strömungen mit freien Rändern und sich zeitlich verändernder komplizierter Geometrie. Die entwickelten Methoden werden darüber hinaus auf modernen Workstations und Parallelrechnern implementiert und an praktischen Problemen getestet.

Projektbereich E: Der Projektbereich E befaßt sich mit stochastischer Analysis. Das Teilprojekt E beschäftigt sich mit Themen der geometrischen stochastischen Analysis und stellt eine natürliche Ergänzung zu den übrigen Teilprojekten dar in dem Sinne, daß es probabilistische Methoden in Wechselwirkung mit geometrischen und analytischen Methoden zur Behandlung nicht-linearer Probleme einsetzt. Die untersuchten geometrischen Strukturen sind z.B. Riemannsche Mannigfaltigkeiten, Pfad- und Schleifenräume oder metrische Räume. Verwendet werden dabei unter anderem Methoden aus der Analysis, vor allem aus der Theorie der linearen und nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen. Zum Teil werden aber auch umgekehrt partielle Differentialgleichungen mit stochastischen Methoden untersucht.


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